পৃথিবীর ব্যাসার্ধে সমান উচ্চতা থেকে পড়ন্ত বস্তুর গতিবেগ কত?

বস্তুটি পৃথিবীর ব্যাসার্ধের সমান উচ্চতা থেকে পড়ছে, অর্থাৎ, পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে এর প্রাথমিক দূরত্ব হবে \( R+R = 2R \) এবং ভূপৃষ্ঠে পৌঁছানোর পর এর দূরত্ব হবে \( R \)।

এখানে শক্তির নিত্যতা সূত্র (Conservation of Energy) প্রয়োগ করা হবে।

বিস্তারিত সমাধান:

ধরি,

    
• পৃথিবীর ভর \( = M \)
    
• পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \( = R \)
    
• বস্তুর ভর \( = m \)
    
• মহাকর্ষীয় ধ্রুবক \( = G \)
    
• অভিকর্ষজ ত্বরণ \( = g \)

বস্তুটি ভূপৃষ্ঠ থেকে \( R \) উচ্চতায় ছিল, অর্থাৎ পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে \( 2R \) দূরত্বে ছিল।

১. প্রাথমিক অবস্থা (Initial State):

প্রাথমিক গতিশক্তি \( KE_i = 0 \) (যেহেতু বস্তুটি স্থির অবস্থা থেকে পতন শুরু করে)

প্রাথমিক বিভবশক্তি \( PE_i = -\frac{GMm}{2R} \)

প্রাথমিক মোট শক্তি \( E_i = KE_i + PE_i = 0 - \frac{GMm}{2R} = -\frac{GMm}{2R} \)

২. চূড়ান্ত অবস্থা (Final State):

বস্তুটি ভূপৃষ্ঠে (পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে \( R \) দূরত্বে) পৌঁছানোর পর এর গতিবেগ \( v \) হয়।

চূড়ান্ত গতিশক্তি \( KE_f = \frac{1}{2}mv^2 \)

চূড়ান্ত বিভবশক্তি \( PE_f = -\frac{GMm}{R} \)

চূড়ান্ত মোট শক্তি \( E_f = KE_f + PE_f = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} \)

৩. শক্তির নিত্যতা সূত্র প্রয়োগ (Applying Conservation of Energy):

\( E_i = E_f \)

\( -\frac{GMm}{2R} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} \)

৪. \( v \) এর জন্য সমাধান (Solving for \( v \)):

উভয় পক্ষকে \( m \) দ্বারা ভাগ করে এবং \( \frac{1}{2} \) দিয়ে গুণ করে:

\( -\frac{GM}{2R} = \frac{1}{2}v^2 - \frac{GM}{R} \)

\( \frac{1}{2}v^2 = \frac{GM}{R} - \frac{GM}{2R} \)

\( \frac{1}{2}v^2 = \frac{2GM - GM}{2R} \)

\( \frac{1}{2}v^2 = \frac{GM}{2R} \)

\( v^2 = \frac{GM}{R} \)

\( v = \sqrt{\frac{GM}{R}} \)

৫. \( GM \) কে \( gR^2 \) দ্বারা প্রতিস্থাপন (Substituting \( GM \) with \( gR^2 \)):

আমরা জানি, ভূপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ \( g = \frac{GM}{R^2} \)।

অতএব, \( GM = gR^2 \)

এই মানটি \( v \) এর সূত্রে বসিয়ে:

\( v = \sqrt{\frac{gR^2}{R}} \)

\( v = \sqrt{gR} \)

৬. মান বসিয়ে গণনা (Calculation with values):

পৃথিবীর অভিকর্ষজ ত্বরণ \( g \approx 9.8 \, m/s^2 \)

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \( R \approx 6400 \, km = 6.4 \times 10^6 \, m \)

\( v = \sqrt{9.8 \times 6.4 \times 10^6} \)

\( v = \sqrt{62.72 \times 10^6} \)

\( v = \sqrt{62.72} \times 10^3 \, m/s \)

\( v \approx 7.92 \times 10^3 \, m/s \)

\( v \approx 7.92 \, km/s \)

এই মানটি প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে \( 8 \, km/s \) এর খুব কাছাকাছি। তাই সঠিক উত্তর হলো \( 8 \, km/s \)।

সঠিক উত্তর: 4. 8 km/s